UN POCO DE HISTORIA Y EL NACIMIENTO DEL CÁLCULO.
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.
El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo
o más bien dicho, coinventores,
Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin.
Los alcances de las operaciones iníciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Óreseme, Arquímedes y Eudoxo.
Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.
El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo.
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:
· Encontrar la tangente a una curva en un punto.
Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton: la creación del cálculo.
Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen").
Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de infinitamente pequeño se llama diferencial de, y se anota. Lo mismo ocurre para y (con notación). Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano. el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.
La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias.
El siglo XVIII.
Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva.
el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico, y basado en el concepto de las series infinitas.
El siglo XIX
Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite.
Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Gauss desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.
Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).
Siglo XX y nuestros días
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo. El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstractas encuentra aplicación.
Conclusiones
Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época.
Los contribuyentes al Cálculo
A continuación aparecen los nombres surgidos en las diferentes épocas, los logros más importantes de algunos de ellos y reseñas biográficas de quienes realizaron los aportes más relevantes al nacimiento del cálculo y la integral definida.
Elaboraron:
1. Luz Alba García Riaño
2. Bonifacio Zúñiga José
3. Imelda García Riaño
4. Juan López García
HISTORIA DEL CÁLCULO.
Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.
Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito.
Ejemplo:
Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.
Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del
área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas
A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...
El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:
A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.
Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo.
No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas
Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas.
Tres matemáticos Fermat, Roberval y Cavalieri. Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.
Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de
(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.
Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área. Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones.
Generalizó la parábola y la hipérbola:
Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.
Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m.
Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rp para r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.
Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.
Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.
Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.
Triángulo de Barrow
Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo. El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli.
Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.
En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del
Teorema Fundamental del Cálculo.
Newton tuvo problemas para publicar su obra matemática. La obra de Newton sobre Análisis con series infinitas fue escrita en 1669 y circuló como manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. Se modo similar, su Método de fluxiones y series infinitas fue escrito en 1671 y publicado en inglés en 1736. El original en latín fue publicado mucho después.
En estas dos obras, Newton calculó la expansión en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual ex.
Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice:
En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad xn se convierte en (x + o)n, es decir, por el método de series infinitas, xn + noxn-1 + (nn - n)/2 ooxn-2 + ...
Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina. Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho
La costumbre de Newton de no publicar inmediatamente sus trabajos le causó más de un problema en torno a la prioridad de algún descubrimiento, pero la disputa más famosa la sostuvo con Leibniz.
ELABORARON:
IMELDA GARCÍA RIAÑO
LUZ ALBA GARCÍA RIAÑO
BONIFACIO ZUÑIGA JOSÉ
JUAN LÓPEZ GARCÍA
ING. LUCÍA HERNÁNDEZ CLAVERÍA.
CÁLCULO
Antecedentes históricos
El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.
El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas.
Las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en el movimiento; trata de cantidades que se aproximan a otras cantidades.
La Escuela Rusa contemporánea de Matemática concibe una gran división de esta ciencia
Los calificativos de “superior” y “elemental” no son sinónimos de “fácil” y “difícil”, respectivamente. Sólo por dar un ejemplo
Llegar a establecer que en el caso en que esta ecuación tiene dos soluciones, a saber
Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas de las matemáticas.
Es un problema mucho más difícil hallar el área de una figura curva. El método griego de agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. Fue Arquímides (287-212 a.n.e.) quien dio la descripción más clara de este método. En figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo, con polígonos regulares inscritos.
Sea n A el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n , se ve que n A se
aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos, entonces, que el área del círculo es el
Límite de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos:
Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo:
El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la “razón del momentum” al tiempo correspondiente es decir, la velocidad. Por lo tanto, fluente es la cantidad variable que se identifica como función; fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la derivada; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se llama momento que se identifica como la diferencial. El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”.
Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando
Que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto.
Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz en la invención del Cálculo Diferencial. Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación, ya que existía gran rivalidad entre franceses, alemanes e ingleses, razón por la que las demostraciones de Fermat se hayan perdido. Hizo además aportaciones a la geometría analítica, la teoría de números y la probabilidad.
Nicolás Oresme, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que: en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.
Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje donde la pendiente de la tangente es nula. X
Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677), maestro de Newton, construyó el “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor Medio. Se dice que Napoleón dijo de él un día: “Lagrange es la altiva pirámide de las ciencias matemáticas”.
Leonhard Euler (1707-1783). La simbología f(x) se debe a él, quien además de hacer importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo.
La representación simbólica “lím” se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).
En el siglo XIX se encontraron bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño.
El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como una herramienta técnico – científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina para medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del Cálculo Diferencial se deben a Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el Cálculo Diferencial continuó basándose en el concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama fundadores del Cálculo, ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del Cálculo Diferencial denominado “Problema de las Tangentes”.
Fue Leibniz quien trató de ampliar el cálculo al desarrollar reglas y asignarle una notación formal. A menudo pasó días eligiendo una notación apropiada para un nuevo concepto.
ELABORO:
· IMELDA GARCIA RIAÑO
· LUZ ALBA GARCIA RIAÑO
· BONIFACIO ZUÑIGA JOSÉ
· JUAN LOPEZ GARCÍA
ING. LUCÍ HERNÁNDEZ CLAVERÍA
